Álgebra - Los números complejos

Álgebra

Tema:  Números Complejos

Contenido:

·         Definición

·         Unidad imaginaria

·         Argumento

·         Conjugada de un número complejo

Los números complejos

Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como, siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Definición

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

• División

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

 

Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento

Artículo principal: Argumento (análisis complejo).

El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresión:

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

O también:
Siendo:

la función signo.

 

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.
El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.
Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo